【量化策略】类凯利策略和反凯利策略

龙听

相信很多人听说过“加倍”策略：一个人带5000块进入赌场，参与1：1的赌博。他可以采取这样的策略：第一次押一块。如果输了，第二次押两块；如果再输，第三次押四块。如此往复下去，只要赢一次，那么他的总赢利就是一块。这样一个回合完成之后，他再从一块押起，开始另一个回合。他赔掉本钱的可能性只有一种：从1块开始，连续输12次。当然这是一个极小概率事件，那么他赢钱的概率就非常地大了。

据说，当年法国Martingale村的人喜欢用这种策略参与赌博，这种策略后来就被叫做Martingale策略了。从理论上推断，那里的人们倾向于相信1、输多次之后赢的概率会增大；2、即便1不成立，只要赌足够多次，这种策略会产生正的收益预期。后来的学者指出，随机事件的预期值不会因已产生的结果而改变，同时Martingale策略也不能改变你的总收益预期：你只不过是用输大钱的小几率来交换赢小钱的大几率而已。再后来，学者们就把收益预期为零的序列叫做Martingale序列了，那是另一个话题了。

E.O.Thorp 在《The Mathematics of Gambling》中详细分析了Martingale策略。计算得出，如果你有2100块，用这一策略去参加轮盘赌（输赢比例为18：20），如果你把赢利目标定为30块，你达到目标的几率是95%，输掉全部本钱的几率是5%。这一策略没有改变赌场赢钱的预期，索普进一步指出，任何别的策略都不会把一个对你不利的赌博变成对你有利的。

如果赌场不设押注上限，而你的确有无限多的赌资。那么你用Martingale策略来赢得整个赌场的几率可以接近1。假设赌场总资产是一亿，你第一次就押一亿，如果输了押两亿，一路加码，如果你有两千亿可押，你赢得整个赌场的几率就是99.9%了。这显然是个不现实的图景，不过从中我们却可以看到Martingale策略和凯利策略的相对应之处。

Vince曾经做过这样一个测试：给所有受测者1000块钱，让他们参与赢赔比率为6：4的游戏共100次。即每押一块钱，赢回另一块的几率是60%，输掉这一块的几率是40%。在这一个明显偏向于受测者的赌博结束后，40位受测者中只有两位最终赢了钱。这一结果的原因就在于，受测者不懂得凯利策略，他们不知道每次压注比例如果大于凯利比例若干百分比的时候（Thorp有具体的计算），赔光的几率就接近1了。对受测者而言，最差的策略就是百分之百押注，赢了再百分之百押。一百次下来，赢钱的几率是0.6的一百次方,虽然可能赢的钱数更是个天文数字，那只是天上的月亮，你是拿不到的；输掉这1000块钱的几率是1-0.6^100，必输无疑。

现在我们设想一下，如果Vince希望通过这个游戏来赚钱，那么受测者采用Martingale策略对Vince来说是最有利的，受测者采用凯利策略对Vince来说是最差的。再进一步，如果每次下注由Vince来决定下注比例，那么他就变成了一个去赌场参与不利于他的游戏的赌徒了。这时候，他的最优策略是Martingale策略（除非他拒绝参加），他的最差策略是Kelly策略（不利的赢利预期下，凯利策略是最差策略。似乎以前没有人强调过这一点）。

我们看到，从这种意义上说，Martingale策略是反Kelly策略。这样一来，我们可以把所有的策略划为两类：Martingale类策略和Kelly类策略。

对凯利系数进行适当调整的策略可以归为凯利类策略。哪些策略可以划为Martingale类的呢？在股市上，有一种不看基本面，越跌越买的策略：10块钱买1000股，如果跌到9块再买2000股，跌到8块再买4000股，如此下去，只要有机会涨1块钱，你就赚钱了。显然这是个Martingale策略，它的特征是用输大钱的小几率来交换赢小钱的大几率，并不改变你的预期收益率。

上述策略稍微加以变形，就成了买跌策略：不看基本面，买市场上最便宜的5只股票，一年后只要它们不再是最便宜的了，你就赚到了钱或赚到了股。这些策略表面上看是选股策略，实际上是仓位策略。它仍然是用输大钱的小几率来交换赢小钱的大几率，并不改变你的预期收益率。不过，当学者们对历史记录做统计分析的时候，可能发现这些策略赢钱的几率竟然这么大？为什么呢？因为它们输大钱的那个小小的几率被统计数据忽略了！为什么会有小市值效应？为什么会有低市赢率效应？可能很大程度上与此有关。

通过本文，我们知道了，凯利策略对正预期的游戏是最优策略，对负预期的游戏是最差策略。所以最重要的，还是要找到正预期的品种。借用巴菲特的一个比喻：要找的湿的雪和平缓的下坡才能滚雪球。如果你在沙凹里向上推沙子，任何策略也不会让你成功。