初談套利 (Arbitrage)：天下真有白吃的午餐？

龙听

本文摘要：我們首次介紹套利概念，並舉出簡單範例：藉由現金存放與股票買賣所組成的投資組合，複製傳統選擇權買權，並且進行價差套利。我們指出，資訊的不對稱，往往使得市場上的聰明人真的可以白吃別人的午餐。


金融市場到底有沒有"穩賺"這件事？答案是有的。

所謂穩賺，就是100%獲利，保證賺錢。我們通常稱這樣的交易為套利。把利潤套住了，跑都跑不掉，你只需要等待，等待套好到的錢流入你的口袋。


只是套利的發生機會渺茫、獲得的利潤微小，一般投資人不容易發現，就算發現，也可能來不及下單。通常市場上職業級的玩家、法人、計量交易員皆會做類似的套利交易。

我們從最簡單的例子出發，試著敘述套利行為：

有一檔股票S。在時間點 t = 0 時，股價為100元。假設未來在時間點 t = 1時，有60%的機率漲到120元；有40%的機率跌到80元，如圖一左圗所示。

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圖一：(左圖)股價二元模式。 (右圖) 到期日為 t = 1，履約價為110元的買權

簡單的計算可知這是一個很好的投資機會，期望獲利為120 X 60% +80 X 40% = 104 > 100，這是一個有利賭局(Favorable Game)。

聰明的讀者可能已經想到，可以使用過去幾週我們討論的凱利公式(Kelly Formula)下注。利用凱利公式去計算該買進多少金額的股票，以達到獲利期望值最大化。
凱利賭徒的迷思
沒錯，根據凱利公式，若只是單純的買賣股票，凱利公式或許是你最好的參考工具之一。然而，凱利下注也有缺點，注意到我們討論的是獲利期望值最大化，也就是凱利公式是在相同賭局可以重複玩無限多次的情況下，將獲利最大化的下注方式。若你只是玩一次，然後輸了，那凱利公式可能不是很適合的下注方法。

既然這樣，有沒有方法是在圖一左圗的認知條件下，還可以"保證獲利"呢？我們介紹一種選擇權的套利方法。

考慮圗一右圗選擇權的買權(Call)，此買權到期日為時間 t = 1，履約價為110元。換句話說，當t = 1且股價漲到120元時，我有權力用110元的價位買進當時價值為120元的股票，所以此買權的價值為 10 = 120 - 110 (元)。

另一方面，當 t = 1且股價跌到80元，這時就不要執行買權所賦予的權力。當然，此時的買權價值為 0。我們假設 X 代表此買權的價值，如圖二所示。

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圖二：選擇權買權在時間點 t =1 的價值

注意到在圖二裡，我們只知道選擇權在時間點 t = 1 的價值是多少？在時間點 t = 0 的價值並不清楚。然而，我們可以從時間點 t = 1 的買權價值回推。如圖三所示：

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圖三：從履約日選擇權的價值回推在時間點 t = 0 的價值。

由於股價有60%的機率漲到120元；40%的機率跌到80元，換句話說有60%的機率此買權的價值為10元；有40%的機率此買權的價值為0元。因此，此買權在時間點 t = 0 的價值應該為

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換句話說，在時間點 t = 0 時，此買權的價格"理論上"應該為6元。
複製買權
我們是否可以用其他金融商品組合成具有如同圖三相同損益的買權。答案是可行的。用"存放款"跟"買賣股票"就可做到!

我們將 x 元存入銀行，並且買 y 股股票。為了方便計算，假設銀行利率為R = 0。若這樣的投資組合要跟圖三的買權收益一樣(時間點 t = 1時的損益)，我們可設下面聯立方程式：

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這意思代表，我們要向銀行借20元後，再去買0.25股的股票。由於在時間點 t = 0時股價為100元，買0.25股需要花25元。我們可拿借出來的20元，再加上自掏腰包5元，即可購買0.25股的股票。注意到，做這檔買賣所花的成本只有5元。當時間點 t = 1，股價來到120元時，帳面價值為10元，當時間點 t = 1 且股價跌到80元時，帳面價值為0元。(如圖四所示)

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圖四：利用存放款與買賣股票何成選擇權買權

如何套利？現在我們有兩項金融商品可做比較。第一項是原來的選擇權買權，履約價為110元，在時間點 t = 0 時價值為6元，也就是要買進此買權只需花成本6元。第二項為借錢與買股票的投資組合，在時間點 t = 1時具有與第一項選擇權相同的損益，但成本只需5元。

很直觀的套利行為發生了：在時間點 t = 0，若有人願意用6元跟你買此檔買權，你就可以進行套利交易。步驟如下：

Step 1. 將圖三的買權用6元的價格出售。
Step 2. 將售出買權所獲得的6元分成兩部份：5元跟1元。花5元組合出具有同等損益的買權，如圖四左上角。
Step 3. 剩下的1元即為此次套利所獲得的金額。

注意到在Step 1賣出的買權已在Step 2用組合的方式買回來，因此可視為手上是沒有任何部位的。此次套利所獲得的獎勵即為Step 3的1元。

為什麼用"獎勵"這樣的字眼？因為套利機會的出現，取決於市場玩家資訊的不對稱。你比別人瞭解的多，你獲得的獎勵(利潤)就多。上述的過程很神奇嗎？我們將在下篇文章裡繼續討論。



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天底下或許真有白吃的午餐，但在這些白吃的背後，必有其聰明的故事！
仔細去研究，你會發現就是因為他人的"白癡"，造成市場資訊的不對稱，才讓聰明人有機會可以"白吃"套利！
到底是白吃？ 還是白癡？傻傻分不清楚，我們下篇將繼續探討！