对数的发明有何意义？在现在有什么重要应用？

龙听

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2021-5-20 16:09

对数是由数学家约翰·纳皮尔（1550-1617）发明，这个意义无论对于当时还是现在都是非常重大。在中学数学中，我们先是学习了指数，比如2^3=8。然后，我们才学习了指数的逆运算——对数，比如求出2的多少次方才会等于8，我们可以用对数来表示这个数，即log2(8)，其结果就是log2(8)=3。我们用更一般的表达式来表示指数函数y=a^x，写成对数形式x=loga(y)（这里需要满足a>0，且a≠1）。因此，指数和对数互为逆运算。
然而，在历史上，对数函数其实先出现，后来才出现指数函数。这是因为对数发明的初衷并不是用于求解指数的幂，而是用于求解多个数的连乘之积。当时，随着科学技术的发展，人们在计算过程中所用到的数字随之越来越大。由于没有计算器的帮助，想要算出几个很大数字的乘积，往往需要耗费大量的时间。对数的出现大大减少了计算乘积所需的工作量，这得益于对数的独特性质：loga(bc)=loga(b)+loga(c)，loga(b)=logc(b)/logc(a)，loga(b^c)=cloga(b)等等。只要通过查对数表，就能很快计算出一些较为繁琐的运算。例如，我们想要计算567.89和3141.59的乘积。假设：
x=567.89×3141.59
两边同时取以10为底的对数，得到：
log10(x)=log10(567.89×3141.59)=log10(567.89)+log10(3141.59)
log10(x)=log10(10^2×5.6789)+log10(10^3×3.14159)
log10(x)=2+log10(5.6789)+3+log10(3.14159)=5+log10(5.6789)+log10(3.14159)
其中log10(5.6789)和log10(3.14159)可以在对数表中查出，把它们相加之后，再查反对数就能得到最终结果。在没有电子计算器的时代，通过对数计算一些繁琐的运算可以大大减轻计算量。

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2021-5-20 16:12

在对数中，最常使用以10和自然常数e（2.71828…）为底的对数，分别记作lg和ln。例如，在化学中，表示酸碱度的pH就是用以10为底的常用对数进行定义：pH=-lg(氢离子物质的量浓度)。此外，以自然常数为底的自然对数被更加广泛应用于科学领域，例如，火箭运动方程、生物学过程等等。