计量经济与时间序列_预测

1.   计量经济学也叫数量经济学或者叫量化经济学，主要的过程是数据结构分析、计量模型建立和预测。因此预测这个话题在时间序列数据中相当重要。他现在仍是一个很活跃的研究领域。很多的量化投资模型最重要应用也就是预测。

2.   这里几种研究以回归为进出的预测方法。

3.   假定我们的主要兴趣是预测一个时间序列过程的将来值，而不一定是要估计因果性或结构型经济模型。

4.   首先介绍一些与模型具体形式无关的基本预测原理。

　　4.1   假设我们在t 时期(当前时刻)想要预测y 变量 在t+1时期(下一个时间窗口)的结果，即yt +1。

　　4.2   所用时间单位可以是一年、一个季度、一个月、一个星期或一天。令It 代表我们在t 时期可以观测到的所有信息。这些信息叫做信息集(information set)，包含yt 和 y 的先导值，常常还包括其他变量在t 或更早时期的值。可以用无数种方法来组合这些信息去预测yt+1。有没有哪一种方法更好呢？

　　4.3   设定与预测误差相联系的损失(loss)，答案便是肯定的。

　　4.4   令一个函数ft 代表在t 期对yt+1所作的预测。称ft 为提前一期预测(one-step-ahead forecast)。预测误差(forecast error)是 et+1 = yt+1 - ft，常见的误差还可以用(et +1)2 来表示。

　　4.5   误差平方这种做法，对称地处理正负误差，越大的误差得到的权重也越大。还有一种叫|et+1| 的绝对值表示。这些都叫预测误差的损失函数(loss function)。

5.   在t 时期，并不知道et+1的值是多少，因为yt+1是一个随机变量，所以et+1也是个随机变量。

6.   所以在给定It 的所有信息集时，自然而然的我们选择使预测误差平方的期望最小的值：因此这个损失函数可以表示成下面这种概率表达式：

　　E((et+1)2 | It) = E[(yt+1 - ft)2 | It] (解释为：给定信息集右侧实际值和预测值的平方的期望，等于给定预测值下一时刻的误差平方的期望，也就是说使得这个条件均值最小化，越趋近于0，越好)。

7.   第一种简单预测：指数平滑法(exponenial smoothing)，预测值通过下面的等式求出：ft = αyt + (1-α)ft-1，yt+1时期的预测值 是yt 和 在t-1时期对y预测值的加权平均。

8.   第二种简单预测：条件预测(conditional forecast)，已知一个模型的表达式：yt = β0 + β1zt + μt，那么，E(yt+1 | It) = β0 + β1zt+1，不行的是我们很少知道zt+1 时刻的其他信息。除非包含时间趋势和季节虚拟变量。

9.   第三种简单预测：无条件预测(unconditional forescast)，这个名词多少有些用词不当，因为我们的预测仍然是以It中的信息为条件。但是这一名词在预测文献中已经根深蒂固了(无非在用于与测试，被我们赋予一个特定的含义罢了)。

10.   就预测而言，除非由于某些原因使我们不得不用8中的模型，否则最好的设定的模型取决于y和z 的滞后值。这版省却了一些步骤，不必在预测y之前还要预测右边的变量。很容易就想到的一个模型是yt = δ0 + α1yt-1 + γ1zt-1 + μt。其中根据公式定义E(μt | It-1) = 0。若已知这些参数(估计出来)那么在t 时期对yt+1的预测值就是这个公式：δ0 + α1yt + γ1zt。

11.   提前一期预测函数可以写成：hat_ƒ = hat_δ0 + hat_α1yn + hat_γ1zn。

12.   举一个时间序列的预测示例(来自伍德里奇的计量经济学)

　　12.1   第一个模型，简单的AR(1)模型：

　　hat_unemt = 1.572 + 0.732 unemt-1

　　　　　　　　 (0.577)  (0.097)

　　n(样本数) = 48, R2 = 0.544, hat_σ = 1.049

　　12.2   第二个模型，增加通过膨胀率的一年之后，模型如下：

　　hat_unemt = 1.304 + 0.647 unemt-1 + 0.184 inft-1

　　　　　　　　 (0.577)  (0.097)                (0.041)

　　n(样本数) = 48, R2 = 0.677, hat_σ = 0.833

　　12.3   所有的样本数据都是从1948年-1996年度数据。

　　12.4   预测下年，也就是1997年度数据，需要知道1996年的数据，也就是48条样本中的最后一条以及第二个模型滞后一年(47条)的数据，分别为：5.4 和 3.0。我们分别把这两个值带入到两个模型中，就能得到下一年也就是1997年度的预测值，过程如下：

　　模型1：1.572 + 0.732 × 5.4 = 5.52

　　模型2：1.304 + 0.647 × 5.4 + 0.184 × 3.0 = 5.35

　　12.5   而美国1997年的实际值为4.9。这两个模型都高估了数值，但是模型2相对好一些。

　　12.6   然后我们把预测区间估计出来：

13.   在实际工作中，有些专业预测员可以固定模型参数，用每一期的预测所用的模型参数保持不变来预测；还有就是新一期数据获得后，更新模型参数，再用更新后的参数预测下一期。（第二种方法需要进行更多的运算，但增加的过做了相对来说是次要的，它可能会（虽然并不一定）更好写，因为这些回归系数至少在一定程度上根据新数据而进行了调整）

14.   样本内准则和样本外准则。

　　14.1   就预测而言，使用样本外准则更好一些，因为预测本质上就是样本外问题。一个模型也许在用于估计其阐述的样本中对y拟合的比较好，但并不一定在与测试就有好的表现。一个样本外准则的方法大致为：用样本前一部分取估计模型中的参数，然后用样本剩余下来的部分判断它的预测能力。这就模拟了我们在不知道变量的将来值所需要的事情。

　　14.2   RMSE = 均方根误，MAE = 绝对平均误差。

　　14.3   还是以上面的为例子。去固定参数，然后累计外推7次预测值，去观察RMSE和MAE在样本外的表现。预测期(1997-2003:7年)。

　　　　　在模型1中：RMSE = 0.962,MAE = 0.778

　　　　    在模型2中：RMSE = 0.673,MAE = 0.628

　　14.4   显然模型2在样本外同样得到了比较好的结果。

　　14.5   当然，还有一种方法。不去固定参数，然后每做一次预测估计一次参数。

15.   提前多期预测：过程也非常简单，用预测出来的值，再代入方程，在预测多两期的预测值，以此类推进行迭代即可。