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金融市场分形理论的应用与展望

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发表于 2014-2-23 20:50 | 只看该作者

金融市场分形理论的应用与展望

近年来,非线性科学理论在金融研究中的应用日益成为热点。理论研究者很希望利用非线性科学的不断发展来解释复杂的市场现象,从而走出传统线性研究范式的束缚,使得理论更切实的与实际相契合,进而更好的指导实践。正是在这种大背景下,作为非线性科学的一大普适类———分形(fractal),从它的诞生开始,就与经济研究结下了不解之缘,并在后续的发展中,由于更好地得到了金融市场数据的支持,在金融研究领域的应用得到了日益广泛的重视,有人甚至寄希望于其可以颠覆自两次华尔街革命以来建立的主流金融经济学体系。但到目前为止,由于其本身的复杂性,我们对它的研究及其在经济研究领域的进一步应用还有待深入,并进一步考察。

　　一、分形理论与金融研究的结合

　　分形至今尚无完整明确的定义,就连分形几何之父———曼德勃罗特(Mandelbrot)[1][2]也没有给出准确的结论。起初,他从拓朴学的角度定义了分形,认为分形是Hausdorff维数大于其拓朴维数的集合。后来由于这个定义不能包括所有分形,他又将分形定义为:组成部分与整体以某种方式相似的集合。这个定义是高度概括和精炼的,也是我们现在普遍接受的。但是对于不了解其意义的人来说,还是比较模糊。这里我们使用分形市场理论的权威,埃德加 E 彼得斯(Edgar E Peters)[3]的理解作为简要的解释:分形是一个生成规则的吸引子,而信息则是随机生成的。它的较小部分与整体相关,在这个意义上它是自相似的。并且,分形具有分形的维数。从而,我们可以得到一个较为完整的分形的概念,即分形是一类集合,它具有两大显著的特征:自相似性和分形维数。分形是普遍存在的自然现象,从海岸线到山峦的形态,从树的分叉外形到肺部的血管结构,分形几乎无处不在。然而,起源于对不规则集合研究的分形是怎样进入经济研究领域的呢?早在曼德勃罗特还没有建立分形几何的时候,由于其研究涉猎的领域极为广泛,他开始关注商品价格的生成机理,并发现了经济领域确实存在的极为广泛的分形现象。价格变化和商品交换会生成几何问题,其实也并不难理解,因为任何经济分析的报表都充满了几何图形,这就给了分形理论施展拳脚的领地。显然,分形和经济研究的交集就是数据的研究分析。从现实数据的方向上来对经济问题进行研究,这无疑是形而下的,从而有别于形而上学的思辨推演。因此,所得出的结论也较为可靠,但是它的困难也就在于,怎样从纷乱的数据中提炼出真理。分形理论进入经济研究的价值正是在于此,它提供了一种分析手段,从而可以帮助我们透过数据表象认识市场本质。由于金融市场能够提供更多高质量的数据,分形和金融研究的结合也就顺理成章了。

　　二、分形理论对主流理论的冲击

　　主流金融经济学可以追溯到巴切利耶(Bachelier)对股票价格的研究,他提出了股票价格遵循随机游动的观点,并用布朗运动来刻画价格的运行规律。早在1900年的这项研究无疑具有超前的跨时代意义,尽管当时并不为人所认识,然而随后在其理论基础上建立起来的现代主流金融经济学框架,都遵循了其最基本的理念,即资产价格呈正态分布。

　　资产价格遵循随机游动的主张被奥斯本(Osborne,1964)在他写成的有关布朗运动的论文中被形式化,奥斯本提出一个过程,在这个过程中,股票市场价格可以等价于一个粒子在流体中的运动。他指出,因为价格的变化是独立的,我们将期望变化的分布是正态的,有稳定的均值和有限的方差,这是可以由中心极限定理保证的。这样的观点,最重要的影响是使得概率微积分的使用正当化。然而,其背后的局限也是显然的,即它要求价格变化是独立同分布(IID)的随机变量,这就必须认定:因为资产市场是个大系统,投资者的数目很大,当下的价格必须反映每个人已有的信息,价格的变化只能来自没有预期到的新信息。这些观点最终导致了现代金融理论的基石———有效市场价说(EMH)的诞生,它宣称市场是一个熵,信息不能被用来在市场上获利。

　　从EMH诞生之日起,对它的检验和争论就没有停止过,至今也没有定论。但是最近越来越多的研究证据表明,死守EMH的教条似乎是勉强的。一个直观而明显的证据是,绝大多数金融市场的收益率分布呈现出明显不同于正态分布的“高峰厚尾”性。早在1970年,夏普(sharp)就指出:“正态分布没有给真正的极端值的出现分配多少可能性。但这些值却出现的相当频繁。”经验数据表明,偏离均值3个标准差的实际数据概率高出正态分布几倍甚至几十倍。尽管有人依然坚持资产价格出现这种现象还是可以被认为服从“近似正态”,而针对这一事实曼德勃罗特则提出,资产分布可能属于稳定分布族[4](或称Levy分布族),其特点是无定义或无限的方差。正态分布只是稳定分布的一种特例。高峰厚尾正是这类分布的特征形状,其较为复杂的特征函数是:

　　log(f(t))=iδt-γ|t|α(1+iβ(t/|t|)tan(απ/2))

　　α、β、δ和γ是四个特征参数。其中α即度量分布的高峰程度又为度量分布的厚尾程度,α的取值范围为[0,2],只有当α=2时,分布才等价于正态分布。我们现在又称这种稳定分布是分形分布,因为它具有足够的自相似性,即当标度参数γ变化的时候,具有相同特征指数α和偏度参数β的所有的规模变化上概率保持不变,即它不依赖于规模变化,这个特性在规模变化的变动里使得稳定分布具有自相似性。

　　这种思想最大的突破性在于它提出了方差的无限性。无限方差的概念在金融学中是不易被接受和理解的。自马科维茨建立资产组合理论以来,方差即被接受为投资风险的度量,它既简洁又明确。而将它视为无限大的好象有违常理,因为投资损失总是有限的。然而,所谓无限方差指的是:当分布区向于极限时,“总体方差”是不收敛的,因此我们不能用样本方差说明总体方差。换句话说随着偏离均值的加大,概率并没有迅速缩小而使方差趋于稳定。这是和我们的经验观察相符合的,又是明显异于正态分布的。分形分布的无限方差对应的是价格的不连续性,它不同于正态分布大的变化是由大量的小的变化造成的,它的大变化是由少量大变化构成的,表现为概率很小但是会出现的大的价格跳跃,这也有助于我们理解,为什么金融危机会出现。分形理论的支持者正是抓住了这样的事实,开创性的提出,由于分数布朗运动而不是随机游动可以更好的刻画金融市场的价格波动,因此我们有必要重新检讨我们在随机游动假定上建立起来的一系列论断,这将颠覆我们一直以来信奉的有效市场的信念。

　　三、试图还原市场本来面目的分形市场理论

　　分形市场理论与有效市场理论的本质区别在于,它抛弃了后者对投资者以线性的方式处理信息的假定,即投资者接到信息就做出反应;而且不以累积的方式对一个事件做出反应。事实上,金融市场中的投资者很少是这样行事的,大多数人会等到信息确认之后,才会有所行动,而这需要一个过程,它所需要的时间是不同的,对于信息的不均等的消化正是造成分数布朗运动的根本原因。对于这一点,在实证中发现,价格既不是独立的也不是只具有马可夫短期记忆,而是具有长期记忆的特性,为它做出了很好的证明。

　　基于上述判断的分形市场理论将分形理论、非线性系统理论和分数维时间序列理论引入了金融市场有效性和市场基本波动的研究中,建立了一个理论框架。Edgar[5]最早提出了分形市场假说(FMH)这一概念,指出分形市场的特点是:(1)市场由诸多具有不同投资期限的投资者组成;(2)对于不同投资期限的投资者,信息会产生不同的影响;(3)市场的稳定性主要是由市场的流动性决定的,当市场由众多不同投资期限的投资者构成的时候,他们相互之间提供流动性,因而市场是稳定的。而当一个事件发生使得基础信息的正确性发生问题,进而使得所有投资期趋同的时候,长期投资者不再为短期投资者提供流动性,因此市场变得不稳定。(4)价格反映了短期技术分析和长期基本分析的结合;(5)如果某项资产与经济周期无关,则它不具有长期趋势。它的波动是由交易量、流动性和短期信息决定的。

　　FMH认为金融市场是一个非线性、开放、耗散的系统;且具有分形、混沌等非线性特征;它允许有非均衡状态;具有正反馈机制;对信息的反应是非线性的;收益序列具有分数噪声且具有长记忆性,波动有序。这就与EMH将市场视为一个线性、孤立、简单系统;总是处于均衡状态;无反馈机制;对信息的反应是线性的;收益序列不相关,波动无序,因而不具有可测性的结论对立起来。

　　通过分析可以得出,有效市场不过是分形市场的一个特例,FMH是EMH的扩展,它在波动的长记忆性、收益分布的自相似性、波动的异方差性、市场的非线性特性等方面改变或丰富了EMH的观点,揭示了一种更具有一般性的资本市场特性,更加广泛、更接近现实地刻画了金融市场的实际情况。

　　四、分形市场理论的实证检验

　　世界的本质是非线性的,利用线性方法来研究事物之间的曲折联系有不可克服的缺陷。非线性科学在探寻事物联系本源的努力上是值得赞赏的。然而,由于我们研究的对象往往过于复杂而不可能被简单的解释清楚,因此再高明的理论可能也只是对真理的一次接近,而不太可能揭示真理的全部。

　　分形理论提出后,即引起金融实证研究者的兴趣,国内外大批学者通过各种方法对各种经验数据进行了分析和检测,都得出了较为相近的结果和结论[6][7]。实证检验主要是通过对收益序列的基本统计特性、相关性、长记忆性的检验上。从国内外各类金融市场的检验数据上来看,收益数据基本上都呈现出较明显的非正态和“高峰厚尾性”、显著的序列相关性和长期记忆性。只是由于各类金融市场的特性不同,各地金融市场发展水平相异,检验结果存在着量上的差异。但都表现出了较为明显的分形特征,即都具有显著的自相似性和分数维度,这是支持分形市场理论最有力的证据。

　　金融市场是一个复杂的系统,现有的理论还不足以说明这个复杂系统出现的所有状况。尽管分形理论得到了更多的实证支持,但是也有不同的声音在向它提出质疑。它们集中在反对作为理论基础的平稳分布假设上。平稳分布在上世纪60年代和70年代早期应用很广泛,但是现在在数理模型中却很少应用,部分原因是由于平稳分布使理论模型化很难。而且,平稳分布也有一些与事实相反的含义:其一,平稳分布意味着收益的方差和更高阶矩的样本估计随着样本容量的增大而增大,但实际上这些估计值是收敛的;其二,平稳分布意味着长期收益与短期收益一样(由于长期收益是短期收益之和,而且这些分布相加后仍是平稳的)。但实际上,长期收益的非正态性表现比短期收益要弱得多。因此,近期的研究更多的把收益模型化为具有有限高阶矩的宽尾分布,如t分布,或者模型化为几种分布的混合分布。

　　反对稳定分布的实证研究主要基于两组统计检验,第一组检验基于这样的观测:如果日收益率是独立同分布稳定的,周收益率和月收益率也应该是稳定的并且具有相同的特征指数。Blattberg和Gonedes(1974),以及许多后来的研究人员,特别是Akgiray和Booth(1988),以及Hall、Brorsen和Irwin(1989),都发现周收益率和月收益率通常比日收益率具有更大的估计值。第二组检验是基于对尾部的帕累托指数的估计,众多的研究人员,包括Du mouchel(1983),Akgiray和Booth(1988),Jansen和deVries(1991),Hols和deVries(1991),以及Loretan和Philips(1994)[8]都应用过这种检验,所涉及的数据包括利率变化、股票收益率和汇率。通常他们都得到大于2的指数,并据此在渐近检验基础上拒绝稳定模型。对于这些检验,分形理论的支持者也做出了有利于己的辩驳,他们从检验的样本大小和目的性上提出了自己的观点。从而并不认为这些检验可以削弱分形理论的适用性。至今,这些争论还尚无定论。

　　五、分形市场理论的深远影响及其展望

　　分形市场理论提供了和主流金融理论大相径庭的理论体系,从理论假设到对市场现象的认识都有显著的区别。从本质上说,分形理论对主流理论的革命是非线性研究方法对线性研究方法的革命。主流理论对现实的过于简化遭到了尖锐地批评,相对应的,分形市场理论对市场不作任何不切实际的简化假设,而是强调流动性和投资时间尺度对投资者市场行为的影响,力图描述投资者(不假定是理性的)的行为和市场价格的运动(非独立性的),使其尽可能符合我们的市场经验。将金融市场视为一个复杂系统,以非线性动力学的方法描述市场和投资者的行为,因此得到了较为广泛的关注和认同,也符合当今科学世界观的潮流[9]。

　　现在就对分形市场理论作盖棺定论的评价是不相宜的。原因正如我们一直强调的,对该理论的检验和应用还在不断的深化过程中。但是什么理论不是在争议和曲折求证的道路上前行的呢?分形市场理论还有广阔的应用空间值得我们去进一步探索,包括其与证券组合理论、资本资产定价研究、套利定价研究、期权定价研究以及金融风险的规避策略等等理论的结合。这样看来,现在的理论成果,只是为我们的深入研究搭建了一个平台,还有很多工作等待我们去做。

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