国债期货定价

在国债期货合约介绍部分，我们已经知道，国债期货采用实物交割的方式。可用来交割的债券包括所有 距到期日为4-7年的固定利息国债。这种实物交割方式，将国债期货的价格和可交割国债现货的价格联系到一起。 本节我们主要介绍国债现货的定价原理、以现货价格确定国债期货价格的计算方法以及影响国债价格的主要因素。

一、 国债现货定价原理

1．现金流折现原理
      国债的票面价值为M，1年付息一次，票面利率为c, 期限为n年。即从现在开始，债券的 持有人可以在每年年末得到C=M×c的利息收入，并在第n年末得到本金加利息收入M+C。该债券的现金流如下图所示：

债券的持有人愿意在今天为这样一组未来现金流支付怎样的价格？即上述的这组未来的现金流的当前价格是多少？ 我们知道，货币是有时间价值的，未来1元钱的价值要小于今天的1元钱。也就是说，未来货币要经过折现才能等于今天的货币。 假定这个折现率为r （r>0）, 即1年后的1元钱等于今天的1/(1+r) 元钱，2年后的1元钱等于今天的1/(1+r)2, 以此类推，n年后的1元钱等于今天的1/(1+r)n元钱，该债券在今天的价格等于未来现金流折现后的加总，即:

r被称作折现率，也被称作债券收益率，即以价格P购入债券，持有到期的收益率。从上式可以看出，由于C, F和n等值已知， 收益率r和债券价格P呈负相关关系，即债券的收益率上升，则债券的价格下降。

由于C=F×c, 即利息等于票面价值乘以票面利率，上式可以写成

从上式可以看出，当c>r时，P>M，即票面利率大于债券的收益率时，债券的价格大于票面价值，称为债券溢价； 当c=r时，P=M，即票面利率等于债券的收益率时，债券的价格等于票面价值，称为债券平价；当c折价。债券的收益率和债券价格P呈一一对应关系， 当债券的收益率r被确定，债券的价格也就确定了。因而收益率是债券定价的核心，我们会在后面详细讨论债券收益率的决定因素。

2．全价和净价
      上述债券从发行开始已经过去d天，那么在第d天时债券的价格怎样计算呢？ 我们看债券在d日的未来现金流：

在(365-d)天后，即s=(365-d)/365年后，债券持有者收到第一笔利息，则该笔利息的折现值为C/(1+r)s。在1+s年后收到第二笔利息， 则第二笔的利息折现为C/(1+r)1+s，以此类推，债券在d日的价格为

该价格我们称为债券的全价，也是债券买卖时实际支付的价格。

我们知道，债券的利息是对借入本金的时间补偿，因此，利息的支付应该是连续的。如果利息采取每日支付， 而不是一年支付一次的方式，则在d日的时候，债券累积的利息为C×d/365=C×(1-s)，又称之为应付利息。 债券的净价则被定义为扣除按债券票面利率计算的应付利息后的债券价格，即：净价=全价-应付利息。

为什么要计算债券的净价呢？如果我们只考虑债券的全价，在付息日前后，债券的价格将发生较大的变化， 而这种变化仅仅是因为付息造成的，因而净价的意义在于能真实地反映债券价值的变动情况，有利于投资人分析和判断债券走势。 现在我国记账式债券的买卖采用净价交易的方式。在净价交易制度下,交易系统直接实行净价报价,同时显示应付利息额, 并以两项之和为债券买卖价格。也就是说,在债券现券买卖中,债券的报价采用净价,而实际买卖价格和结算交割价格为全价。

二、国债期货定价原理

1、标准债券的概念

国债合约的标的物是面额为100万元人民币，票面利率为3%的5年期国债，这是一个“名义标准债券”，或者称为“虚拟债券”， 它并不对应着在现券市场上的某一种真实的国债，而是对应的是一篮子的国债组合。这一篮子国债组合可以包括所有距到期日 为4-7年的固定利息国债。他们都可以用来进行交割。国债期货合约的价格，是用标准债券来交割的价格。而实际可用来交割的 债券，与标准债券具有不同的票面利率、到期时间，或者说是不同的现金流组合，因而也应该有不同的交割价格。那么，如果 我们拿票面价格为100万元的可交割债券来交割期货合约，我们可以得到怎样的交割价格呢？下面我们引入转换因子和发票价格 的概念。

2、 转换因子和发票价格

在国债期货合约的交割日，合约的卖方可以在可交割债券中选择国债现券用来交割。用面值100万的这种可交割债券来交割 的价格被称为发票价格，用不同的国债现券来交割会得到不同的发票价格。

国债期货交割时的发票价格=国债期货交割结算价×（卖方选择的可交割国债现券的转换因子）+该可交割国债现券在期货交割日的应付利息

或者可以简化为发票价格=期货价格×转换因子+应付利息

以TF1203国债期货为例，转换因子实质是面值￥1的可交割债券在其剩余期限内（2012年3月14日至债券到期日）的现金流， 用3％的标准票面利率所折算的净价。

怎样来理解转换因子的概念呢？

国债期货合约的价格，是用标准债券来交割的价格。即在合约的交割日，合约买方愿以期货价格买入标准债券， 或者说买入标准债券的未来现金流组合。现在合约卖方以另外一种债券来交割，也就是说，合约买方将得到另外一组 未来的现金流组合，那么合约买方愿以支付的发票价格是多少呢？首先我们将交割债券的未来现金流组合分为两部分， 一部分是应付利息，即交割债券从上次付息日到期货交割结算日的应付利息，一部分为剩余的未来的现金流。我们需要注意的是， 标准债券从交割日的下一日开始计息，因而是没有应付利息的。

期货合约的买方要支付交割债券的应付利息，还要为剩余的未来现金流进行支付（发票价格-应付利息）。期货合约的 买方为交割债券和标准债券支付的交割价格之比应该等于这两种债券的未来现金流之比，即

（发票价格-应付利息）/期货价格=交割债券的剩余现金流组合/标准债券的现金流组合

由于交割债券和标准债券的面值都是100万，因而（发票价格-应付利息）/期货价格=面值1元的交割债券的剩余现金流组合/面值1元的标准债券的现金流组合

如何来衡量现金流组合的比值呢？

可以用上面我们讲到的现金流折现原理。
      可以将交割债券和标准债券的现金流组合用折现率r折现到交割日，即 （发票价格-应付利息）/期货价格=面值1元的交割债券的剩余现金流按折现率r折现后的价格/面值1元的标准债券按折现率r折现后的价格。

那么，这个r怎么确定呢？中金所规定这个r选用国债期货合约中设定的基准：利率3%。

标准债券的票面利率是3%，折现率也是3%。我们上文已经讲过，当票面利率等于折现率时，债券的价格等于面值， 即面值1元的标准债券按折现率3%折现后的价格等于1，由于标准债券没有应付利息，净价和全价都为1。 而交割债券的剩余现金流是去掉应付利息的，因而我们得到的价格是债券的净值。

因此，上式可以写为：
（发票价格-应付利息/期货价格）=面值1元的交割债券按折现率3%折现后的净价/面值1元的标准债券按折现率3%折现后的净价=转换因子

即 转换因子为交割债券和标准债券按3%折现率计算的在期货合约交割日的净价之比。

转换因子有以下几个特征：

1、 从转换因子的计算方法可以看出，每个可交割的国债现券对于某个国债期货合约的转换因子都是唯一的， 而且由于3%的折现率、和期货交割日期已经给定，因此转换因子在整个交割周期里是保持不变的。但对于不同的期货合约， 如TF1203和TF1206，其交割日期不同，现券对应的转换因子不同。

2、 每个可交割的国债现券其转换因子的大小与其息票率相对于国债期货的基准利率的大小有关。如果息票率高于国债期货 的基准利率，则转换因子大于1；相反，如果息票率低于国债期货的基准利率，则转换因子小于1。

3、 同一个可交割的国债现券其转换因子随着合约月份的推移，其转换因子逐渐向1靠拢。这个现象总结起来就是， 如果一个息票率高于国债期货基准利率的可交割现券，其转换因子大于1，同时其用于TF1206合约的转换因子要小于TF1203， 并且其对应越往后的合约转换因子越小；相反，如果息票率低于国债期货基准利率的可交割现券，其转换因子小于1， 其用于TF1206合约的转换因子却要大于TF1203，并且其对应越往后的合约转换因子越大。

3、 最便宜可交割债券

所有从期货合约交割日到债券到期日为4-7年的固定利息国债都可以对国债期货进行交割。期货合约的卖方有权利 选择用来交割的现券。由于市场利率结构的变动以及各个品种流动性的差异等等，有时会出现购买某种债券用于交割 的成本较其他债券更便宜，那么这种债券就成为最便宜的可交割债券。合约卖方可以通过计算买入当前各个可交割现券， 以及它们的持有成本，最后的交割价格，来寻找到最便宜的可交割债券。

如果我们购买某个国债现券，卖空对应的国债期货合约，然后在n天后国债期货合约交割时把现货国债用于期货的交割， 这样获得的理论收益称之为隐含回购利率。隐含回购利率最高的债券即为最便宜可交割债券。我们卖空了国债期货合约， 就以期货合约的当前价格锁定了合约到期时的交割价格。因此：

4、 国债期货定价原理

由于可以使用国债现券来对国债期货进行交割，因而，期货的价格由用来交割的国债现货价格决定。 下面我们使用持有成本模型来对国债期货进行定价。

假设债券期货的交易者在某债券期货品种的交割时间T之前的时点t进行以下操作：
      （1） 卖出一份债券期货合约，其价格为Ft
      （2） 以无风险利率r融资，买入面值为100万的国债现券，价格为Pt+It, Pt为净价，It为上个付息日到t的应付利息。

该交易者在时间ti, i=1,…,n收到国债线圈利息收入Ci，并以无风险利率r进行再投资
      该投资者在债券期货合约的交割日完成了以下操作：
      （1） 以债券现货按照锁定的期货价格Ft进行交割，得到发票价格Ft×CF+IT, 。CF为该债券的转换因子，IT为付息日tn到期货交割日的应付利息。
      （2） 以所获得的现金偿还借款，并付出利息（Pt+It）×r×(T-t)/365。
      （3） 收到国债现券利息再投资收入

该投资者的现金流如下表所示：

t	ti	T
以无风险利率融资：Pt+It	收到国债利息收入：Ci	交割国债期货：Ft×CF+IT
购入国债现券： -（Pt+It）	将利息收入再投资：Ci	偿还融资本金及利息 -（Pt+It）×（1+r×(T-t)/365）
卖空期货合约：0		收到国债现券利息再投资收入
总现金流：0	总现金流：0	总现金流：合理值为0

该策略的现金流在t时刻及ti时刻均为0，根据一价定理，该策略在T的现金流也应该是0。因此，根据T时刻现金流为0， 我们得出国债期货在t的理论价格Ft为

这就是在时刻国债期货的理论价格。与股指和商品期货的定价一样，国债期货也可以使用
期货价格=现货价格+持有现货的成本-持有现货的收益来进行定价。分子中第一项是当前的现券价格，第二项是当前 现券成本持有到交割时的融资成本，第三项是持有现券的利息收益，最后一项是全价对净价的调整。

有一揽子国债现券可以用来交割，我们究竟应该使用哪个国债现券来计算期货的价格呢？由于国债期货的卖方 拥有选择交割债券的权力，而卖方会选择最便宜的可交割债券。因此，一般认为，最便宜的可交割现券计算得到的 期货理论价格是期货市场上的合理价格。所以是最便宜可交割债券决定了国债期货合约的价格。

实际上，国债期货合约的价格要略低于最便宜的可交割现券计算得到的期货理论价格。随着市场利率、流动性 等因素的变化，在交割日前，其他债券有可能代替现在的最便宜可交割债券。而期货合约的卖方则拥有这种在 有利的时候，以其他债券代替现在的最便宜可交割债券进行交割的权力，事实上卖方拥有一个嵌入式期权。

三、 国债价格的影响因素

通过前面的分析，我们知道，国债价格和国债收益率一一对应且负相关。国债收益率是一种利率，代表资金的价格。 因而，利率是影响国债价格的核心因素。当市场中资金紧张时，利率上涨，国债价格下跌；当市场中资金宽松时， 利率下降，国债价格上升。经济形势、政策、通胀等因素通过影响利率而影响国债的价格。

第一，国债收益率受经济发展的影响。当经济处于繁荣时期，企业借贷需求旺盛，居民信贷消费需求上升， 市场资金面紧张，利率上升，于是国债价格下跌。当经济萧条时，企业信贷和居民消费需求下降，对资金的需求下降， 因此利率水平下降，国债价格上升。下图给出10年期国债收益率和GDP增速的走势，可以看出，二者呈现一定的正相关关系。

第二，国债价格受物价水平的影响。国债的收益率是一种名义利率，物价上涨时，国债的真实收益率水平下降， 对投资者的吸引力降低，出于保值的考虑，人们会将资金投资于房地产或其他可认为保值的物品，国债需求下降， 从而引起国债价格下跌。因此，物价上涨速度与国债价格负相关，与国债收益率正相关。下图给出10年期国债收益率 与CPI同比增速的走势图，二者呈高度正相关关系。

第三，国债收益率受货币政策和财政政策的影响。当货币政策宽松时，具体表现为下调银行存贷款利率、下调存款 准备金率或者在公开市场上发行货币，市场利率下降，国债价格上升。当货币政策紧缩时，市场利率上升，国债价格 下降。当国家实施宽松的财政政策，刺激经济发展时，导致市场利率上升，国债价格下降。

第四，国债收益率受国际收支和资本流动的影响。当我国外贸顺差增加或资本流入时，央行为对冲外汇占款增加 货币发行，使市场上资金充裕，利率下降，从而推升国债价格。

在金融市场健全、利率已经实现市场化的国家，经济发展是国债收益率的长期决定因素也是主要决定因素。 在我国，由于利率没有实现市场化，我国的基准利率即银行存贷款利率由中国人民银行决定， 因此，我国现阶段国债收益率的主要决定因素是货币政策。