香农的魔鬼与股市印钞机 香农和著名的“财富公式”

龙听

（凯利本人）

这是一篇最彻底的论述如何打造一台完美的股市印钞机的指南。

每个炒股的人都有过这样的经验，一只股票好不容易涨上去了，后来又跌回原价了，白辛苦一场，暗自后悔，早卖了就好了。 其实不用后悔，世界最伟大的科学家之一信息论发明人香农在其后半生主要致力于研究投资，经常发表各种讲座给大家传授秘技。香农在麻省理工最大的礼堂曾经发表了一份演讲，给大家传授了如何在上述这种情况下赚钱的秘笈，香农的秘笈如下：

假设一只股票从1块涨到了2块，然后又从2块跌倒了1块，你该怎么做呢？ 如果你准备投资200块，香农的秘笈是，你拿100块买股票，另外100块空仓，然后你要干的事情就是维持股票市值和现金的总金额的相等就可以了，例如等到100块股票涨到200的时候，你一共有200股票加100现金，总资产300，那你就卖掉50块钱股票，于是你手上有150块股票，150块现金，等到股票跌倒1块的时候，股票市值只有75了，但是你的总资产竟然有225！ 如果股票先下跌再涨回来，结果是一样的，你都妥妥地赚到25块钱！

这听起来不科学啊，股票上涨1倍，下跌一半涨跌幅就等于： 2×0.5-1=0，怎么算都是原地踏步，但是香农的策略却实实在在赚到了钱。




香农赚钱的秘密在于使用了宇宙最牛叉的凯利公式，这个公式是香农在贝尔实验室的同事凯利，在香农的信息论基础上处理通信信号的应用中引申到投资的，香农上述的策略就是利用了这个公式。凯利公式在投资界有个大名鼎鼎的外号叫做“财富公式”，这个公式处理的问题就是如何在一个赌博或投资中根据赔率概率计算最佳投资比例的问题， 凯利公式的一般公式是这样的： f=(pb-q)/b  以扔硬币为例，P就是你赢钱（例如正面）的概率，q自然是你输钱的概率，在扔硬币的游戏中，这两个值恰好都等于0.5， b是什么呢？ b是你的胜率，就是你去掉本钱还能赢多少钱，例如每次你押1块，正面出来庄家给你6块，那么这个b就等于5（6块减去你的本钱1块），在这种情况下，你该每次押的钱就是f=(5×0.5-0.5)/5=40%, 在这场赌局中，你每次押上40%的钱，未来你的几何收益率的期望值将是最大！ 任何一种投资比例的安排都不会优于凯利公式！

凯利公式的证明其实原理非常简单，对于你资产未来的总值：C=（1+fb)^Np*(1-fa)^Nq （f：投资比例，b赢时的赔率，a：输时的赔率，Np：赢的次数，Nq：输的次数），对C以f为变量求导，即可得出最佳的f来，这个公式是：f=p/a-q/b 这个公式跟前面提到的f=(pb-q)/b看起来不一样，其实是一样的，如果你输的时候全输完（例如扔硬币押正面，出反面的时候，你押的1块钱没了）那么a就等于0，在a等于0的时候，就跟前面的公式一样了。

用凯利公式再考察一下香农的魔鬼，上涨时翻倍，相当于你押1块，赢了庄家给你2块，下跌时折半，相当于你押1块，输了，庄家退5毛，根据这些信息，利用上面的凯利公式可以计算香农的魔鬼的最佳仓位：f=p/a-q/b=0.5/0.5-0.5/1=0.5 这就是香农的魔鬼的秘密，凯利公式计算出来的最佳投资比例是投入一半资金，这就是为什么每次香农需要调整为市值一样的背后的原理。

那么香农这个策略一直玩下去，他一共能赚多少钱呢？根据上面介绍凯利公式推导的过程可知：C=(1+0.5×1)^Np*(1-0.5×0.5)^Nq, 假设长期来说上涨下跌概率相等的话，Np=Nq=n, 结果就是（1.5×0.75)^n=1.125^n 换句话说就是香农的资产将以1.125的n次方增加，听起来是不是很可怕？





但是这个很违反直觉，不是吗？涨上去跌下来、跌下来涨上去，来来回回，原地踏步，就把钱给变出来了？如果我们仔细再研究一下就会发现一个漏洞，涨的时候投资1块赚1块，可是跌的时候投资1块钱才亏0.5，按照概率期望计算的话：1×0.5-0.5×0.5=0.25，这个赌局明显是存在着正的期望收益啊。可是既然是一个存在正的期望收益的游戏，为什么你全仓持有的话，到头来依然是一场空，一毛都赚不到呢？这是一个非常有意思的现象，你的最终收益与你的持仓比例存在着非常重要的关系！错误的持仓在一场存在正期望收益的游戏里你依然可能一毛都得不到。

搞投资的人特爱卖弄的一个概念是复利，可是如果我们用复利的概念来衡量香农的魔鬼的时候会发现这个复利竟然是：2×0.5=1 （2:翻倍、0.5:对折），就是永远没有利润的一个游戏，复利永远不存在。凯利公式就是一个可以把几何收益率为0，但是却创造出无穷财富的神奇公式。

如果我们再深入思考香农的魔鬼，我们可能会想，上涨下跌之后都归零了，还能赚到钱，这不科学，问题肯定出在上涨赚1块，下跌只亏0.5的概率上了，现实中也许是这两个概率不相等导致的错觉，翻倍涨的概率很可能少于跌一半的时候，这样一来，上面公式里的概率要修改了，也就赚不到钱了。而香农的魔鬼暗示了二者概率是相等的。 这么一想是不是就觉得很合理了，这两个概率肯定不一样，否则凭空变出来钱，那不是扯淡吗？

所以我们现在要考察一下上涨1倍和下跌一半的概率到底是不是一样呢？一个上涨100%，另一个下跌50%，看起来完全不一样嘛，明显上涨100%的数字要小于下跌50%的数字嘛。且慢，100%和50%只是个幅度，并非概率，关于股市收益率，学术和实践采用的是对数收益率，虽然实践表明对数收益率并非完美符合正态分布，但是毕竟接近度非常高，再没有更好的模型之前，我们不妨先用正态分布对数收益率来考察一下（关于为什么要用对数收益率以及对数收益率的正态分布特性，超出本文讨论范围，请自行了解），我们直接上答案：

上涨100%的对数收益率=ln(2/1)=0.6931, 下跌50%的对数收益率=ln(0.5/1)= -0.6931 ，在对数收益率正态分布的情况下，我们日常谈到的上涨100%和下跌50%在对数收益率的分布中的概率是一样的！算到这里细思极恐，你想想，在一个概率对等的情况下、长期收益率为0的前提下，你可以赚到钱？！！你是不是有种发现了印钞机的感觉？





（使用凯利系统的索普的普林斯顿新港基金业绩）
让我们先按捺住激动的心情，再对照一下现实，那些传说中的高抛低吸、网格交易莫非就是隐隐暗合了香农的魔鬼中的凯利公式才让少数人成为了吸血的魔鬼，榨干了散户的口袋？我们不由得大吼一声：不要忘了我！我也要分一块散户的尸体！

当我们冷静下来的时候，我们不得不说，上涨100%和下跌50%在任何一支股票来说，一年中都难得出现一次，万一不凑巧连续出现两次下跌50%，在凯利公式里都是微不足道区区的无穷大的n里面的两个芝麻，可是两次对折，我们的资产就只剩1/4了，这谁玩得起啊？人家搬砖的网格交易的不都是来回倒腾几个点的吗？咱天朝股市涨跌100%不常见，涨跌一二十个点那还不是稀松平常？一年倒腾几次10%也发了是不是？而且根据大数法则，破产的几率也就几乎给摸平了。

说干就干，立马动手，以上涨10%来算，对数收益率=ln(1.1)=0.09531, 现在我们要计算对等的对数收益率的情况下，算术收益率是多少：e^(-0.0953)=0.909, 也就是说我们平时说的10%等概率下跌的幅度其实是：-9.09%. 有了概率（对等，都是0.5), 我们还有了赔率（上涨10%，下跌9.09%, 我们能干啥？用凯利公式计算最佳持仓比例，然后我们未来只需要跟香农的魔鬼一般股票涨了卖一些，跌了买一些，维持固定的持仓比例人，然后就能实现香农的魔鬼般的收益！

根据前面的凯利公式：f=p/a-q/b,带入我们刚算出来的概率和赔率：f=0.5/0.0909-0.5/0.1=5.5005-5=0.5005， 几乎等于0.5, 所以根据凯利公式计算出来的最佳持仓比例是五成仓位（如果把10%改为30%的话，持仓率变为200%，一倍杠杆）。我们的印钞机能赚到多少钱呢？在我上面讲述凯利公式的推到过程中已经讲了：

C=（1+fb)^Np*(1-fa)^Nq, 我们把刚算出来的数字带入：

C=(1+0.5×0.1)*(1-0.5×0.0909)^n=(1.05×0.95455)^n=1.0022^n

我们的印钞机终于打造完毕，根据宇宙最完美的投资比例凯利公式设计出来的，通过对振幅19.09%的空间进行完美交易的机器，在股市对数收益率正态分布的前提下，可以在每次交易中赚取0.22%的纯利，这个还没有扣除两次的交易成本。

算到这里，如果你理解了我上面讲的所有的一切的话，你可以对江湖中流传的在3%、5%振幅之间以不知从何而来莫名其妙的持仓比例来回倒腾的高抛低吸和网格交易能赚到多少钱有个大概的判断了。

让我们用香农做完那场演讲之后回答听众问题的一个回答来结束本文吧：