解析几何的诞生

龙听

解析几何产生的背景

进入17世纪之后，各种的数学理论和分支如雨后春笋般茁壮成长，数学家也像韭菜一样，一茬接着一茬。近代数学的发展，使得数学家族“人丁”兴旺；目前很难有谁能系统、全面的掌握所有数学内容；学术前沿的大牛，也大都是在一个和几个领域方向上“嘚瑟”，对其他方向的了解都可能达到隔行如隔山的程度；大家都在自己的一亩三分地上耕耘，有谁能站到高处俯视一下下呢？

而17世界的几何学主要有两个方向：一个是德扎尔格的射影几何学路线；另一个是笛卡尔建立起的解析几何。

在解析几何建立之前，欧洲人在代数上已经有所突破，包括韦达定理，三次和四次代数方程的解析解，使得代数学进入了欧洲数学家的视野。有人认为：近代数学本质上就是关于变量的数学，这区别于古代关于常量的数学。而文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了更高的要求。生产实践中产生大量的“变量”问题：机械运动；航海导航；火药的使用、武器改进推动了弹道的研究等等。因此，对运动和变化的研究成为学术研究的中心课题。而变量数学的首个里程碑式的成果就是解析几何了。

解析几何的诞生

解析几何的基本思想是在平面中引入坐标，建立坐标系，然后将一个形如f(x,y)=0的代数方程与平面上的一条曲线对应起来：将几何问题转化为代数问题，也通过对代数问题的研究发现新的几何结果；代数问题也有了几何意义的解释。这一几何学的分支的创立人是两个法国数学家——笛卡尔和费尔马。只是，他们最初使用的都是斜坐标系，把直角坐标系作为特殊情况。现在我们使用更多的是直角坐标系，并称之为笛卡尔坐标系。




费尔马和笛卡尔都是各自独立的发明了解析几何，他们发明的方式和目的不尽相同。这位业余的数学家费尔马用代数的方法对古希腊阿波罗尼奥斯的《平面轨迹》进行了补充、总结整理。费尔马更强调轨迹的方程和用方程表示曲线的思想，他给出了直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等方程的现代形式。1637年，笛卡尔以其《方法论》附录的形式发表了《几何学》，其中阐述了解析几何的全部思想。而费尔马早在1629年发现了坐标几何的基本原理，却一直都没有发表，因此有了优先权的争论。



笛卡尔和费尔马建立的坐标系并不是唯一的坐标系。1671年费尔马的坐标几何原理发表两年后，牛顿建立了极坐标。有些图形用极坐标表现会更简单，如阿基米德螺线、悬链线、心脏线、三叶或四叶玫瑰线等。