实例：温度曲线问题

气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：

试描绘出温度变化曲线。

曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。

曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。

1.线性拟合函数：regress()

调用格式：  b=regress(y,X)

                     [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X)

                     [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha)

说明：b=regress(y,X)返回X与y的最小二乘拟合值，及线性模型的参数值β、ε。该函数求解线性模型：

y=Xβ+ε

β是p′1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n′1的向量；y为n′1的向量；X为n′p矩阵。

bint返回β的95%的置信区间。r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。

例1：设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即y=10+x+ε ；求线性拟合方程系数。

程序： x=[ones(10,1) (1:10)'];

      y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1);

      [b,bint]=regress(y,x,0.05)

结果：  x =

    1     1

     1     2

     1     3

     1     4

     1     5

     1     6

     1     7

     1     8

     1     9

     1    10

y =

   10.9567

   11.8334

   13.0125

   14.0288

   14.8854

   16.1191

   17.1189

   17.9962

   19.0327

   20.0175

b =

              9.9213

              1.0143

bint =

            9.7889   10.0537

            0.9930    1.0357

即回归方程为：y=9.9213+1.0143x

2.多项式曲线拟合函数：polyfit( )

调用格式：  p=polyfit(x,y,n)

                     [p,s]= polyfit(x,y,n)

说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)

例2：由离散数据

拟合出多项式。

程序：

              x=0:.1:1;

            y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2];

            n=3;

            p=polyfit(x,y,n)

            xi=linspace(0,1,100);

            z=polyval(p,xi); %多项式求值

            plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')

            legend('原始数据','3阶曲线')

结果：

p =

   16.7832  -25.7459   10.9802   -0.0035

多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035

曲线拟合图形：

如果是n=6，则如下图：

也可由函数给出数据。

例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)

程序：

       x=1:20;

       y=x+3*sin(x);

       p=polyfit(x,y,6)

       xi=linspace(1,20,100);

       z=polyval(p,xi);    %多项式求值函数

       plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')

       legend('原始数据','6阶曲线')

结果：

p =

0.0000   -0.0021    0.0505   -0.5971    3.6472   -9.7295   11.3304

再用10阶多项式拟合

      程序：x=1:20;

y=x+3*sin(x);

p=polyfit(x,y,10)

xi=linspace(1,20,100);

z=polyval(p,xi);

plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')

legend('原始数据','10阶多项式')

结果：p =

  Columns 1 through 7

    0.0000   -0.0000    0.0004   -0.0114    0.1814   -1.8065   11.2360

  Columns 8 through 11

  -42.0861   88.5907  -92.8155   40.2671

可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。

3.         多项式曲线求值函数：polyval( )

调用格式：  y=polyval(p,x)

                     [y,DELTA]=polyval(p,x,s)

说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

(未完)

                                                         转自  飞扬youth  的博客